Home » Archief » Pythagoras


[23.05.2009]

Pythagoras

Yezkilim

Gloeden2 (114k image)
Illustratie: Wilhelm von Gloeden

Meestal moet je weten wat aanliggende rechthoekszijden, schuine zijden, wortels, rechte hoeken, kwadraten, overstaande rechthoekszijden en rechthoekige driehoeken zijn voor je de uitleg van de stelling van Pythagoras kunt volgen. Maar het kan ook zonder. Hier een herkansing voor wie de stelling vergeten is.

Stel je voor, een rechthoek.

De linker- en rechterkant noemen we de hoogte van de rechthoek, de onder- en bovenkant noemen we de breedte. Van de hoek linksonder naar de hoek rechtsboven (mag ook van rechtsonder naar linksboven, dat maakt voor de stelling niet uit) is een kaarsrechte schuine lijn getrokken. Deze heet de diagonaal.

Pythagoras01 (30k image)

Je kent waarschijnlijk al twee formules die bij zo’n rechthoek horen:
(1) Omtrek = hoogte + breedte + hoogte + breedte
(2) Oppervlakte = hoogte x breedte
Pythagoras heeft er nog één bedacht (zijn stelling):
(3) (Diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte).

Trek je er niets van aan dat in veel opgaven alleen de halve rechthoek (onder of boven de diagonaal) getekend is. Schets of denk de andere helft erbij. Soms is de driehoek of rechthoek een stukje gedraaid. Draai de tekening dan gewoon zó, dat de rechthoek weer rechtop staat.

Wat kun je doen met de stelling van deze oude Griek?
Uitrekenen hoe lang de diagonaal is, als je de breedte en de hoogte weet. Of de breedte uitrekenen als je de diagonaal en de hoogte weet, of de hoogte als je de diagonaal en de breedte weet.

Meestal heb je hierbij een rekenmachine nodig.
Daar zit een pythagorasknopje op: .
Dat gebruik je zo: weet je (hoogte x hoogte) of (breedte x breedte) of (diagonaal x diagonaal), bijvoorbeeld 100, dan tik je √ 100 =
en de uitkomst, ofwel de hoogte, de breedte of de diagonaal verschijnt op je scherm.

Voorbeelden

Uit (1) en (2) komt een mooi getal, maar bij (3) en (4) moet je afronden.
De schetsjes zijn maar schetsjes, dus niet op maat en niet in verhouding.

(1) De hoogte van een rechthoek is 3 cm en de breedte is 4 cm. Wat is de diagonaal?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:

(diagonaal x diagonaal) = (3 x 3) + (4 x 4).
(3 x 3)= 9 en (4 x 4)=16. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 9 + 16.
9 + 16 = 25. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 25.
Tik op je rekenmachine √ 25 = en je krijgt 5, dus de diagonaal is 5 centimeter.

pythagoras2 (29k image)

(2) De hoogte van een rechthoek is 5 cm en de diagonaal is 13 cm. Wat is de breedte?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(13 x 13) = (5 x 5) + (breedte x breedte).
(5 x 5)=25 en (13 x 13)=69. Invullen:
169 = 25 + (breedte x breedte).
169 – 25 = 144. Invullen:
(breedte x breedte) = 144.
Tik op je rekenmachine √ 144 = en je krijgt 12, dus de breedte is 12 centimeter.

pythagoras3 (29k image)

(3) De hoogte van de rechthoek is 3 cm en de breedte is 5 cm. Wat is de diagonaal?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(diagonaal x diagonaal) = (3 x 3) + (5 x 5).
(3 x 3)=9 en (5 x 5)=25. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 9 + 25.
9 + 25= 34. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 34.
Tik op je rekenmachine √ 34 = en je krijgt 5,83095…., dus de diagonaal is ± 5,83 centimeter.

pythagoras4 (31k image)

(4) De breedte van de rechthoek is 5 cm en de diagonaal is 10 cm. Wat is de hoogte?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(10 x 10) = (hoogte x hoogte) + (5 x 5).
(10 x 10)=100 en (5 x 5)=25. Invullen:
100 = (hoogte x hoogte) + 25.
100 – 25 = 75. Invullen:
(hoogte x hoogte) = 75.
Tik op je rekenmachine √ 75 = en je krijgt 8,66025…., dus de hoogte is ± 8,66 centimeter.

Yezkilim is een full-time allround compulsief obsessief probleemoplosser, met als specialiteit radicale onderwijshervormingen. Daarnaast is ze wiskundeleraar.

Yezkilim, 23.05.2009 @ 08:55

[Home]
 

18 Reacties

op 23 05 2009 at 09:12 schreef rena:

LOL en ik dacht nog wel de rest van mijn leven van wiskunde verlost te zijn…

op 23 05 2009 at 09:33 schreef Benech:

Yezkilim: moet ik nu op mijn vrije zaterdagmorgen aan wiskunde gaan denken? Je wist trouwens dat er op MathWorld (en ook op andere sites) bewijzen worden verzameld? Ik meen dat de teller momenteel op ruim 200 bewijzen staat hoewel veruit de meeste bewijzen op een heel klein aantal terug te herleiden zijn.

op 23 05 2009 at 12:04 schreef toevallige voorbijganger:

Een Pythagorasknopje?
Ik heb altijd geleerd dat het een wortel was.

op 23 05 2009 at 14:12 schreef EH:

Het geometrisch bewijs van de stelling van pythagoras, dat mis ik even.

http://www.math.ntnu.no/~hanche/pythagoras/

Dat is toch oneindig veel iteressanter dan hoe je dat in je rekenmachine intypt?

op 23 05 2009 at 15:51 schreef Geert:

Bedankt! Nu snap ik de stelling van Pythagoras eindelijk!!

op 23 05 2009 at 22:58 schreef Agnes:

Ik weet niet echt wat overstaande rechthoekszijden e.d. zijn, ik heb het altijd op deze manier geleerd op school. Maar wij hadden dan ook de Wageningse Methode (= realistiese methode opgericht in 1973).

Maar als u dan toch wiskundeleraar bent, zou u me misschien ook kunnen vertellen wat de afgeleide is van
(1/pi)*arctan(x/a)+(1/2) ?

op 24 05 2009 at 01:06 schreef sbs6:

@Agnes
a/(%i*x^2+pi*a^2)

op 24 05 2009 at 01:07 schreef sbs6:

woops:
a/(pi*x^2+pi*a^2)

op 24 05 2009 at 23:01 schreef drnomad:

Volgende opgave. Gegeven a * b = Z, het getal Z is bekend, en a en b zijn onbekend. Hoe bereken je a en b. Voorbeeld, a * b = 123456789, wat is de waarde van a en wat is de waarde van b.

op 24 05 2009 at 23:51 schreef Benech:

a=z/b of b=z/a. Mis ik iets of zit er een addertje onder het gras?

op 25 05 2009 at 09:25 schreef Geert:

drnomad,

de oplossing is de lijn a=b/Z. Of gewoon a*b=Z. Omdat er slechts één vergelijking is, kun je hier verder niets aan oplossen. Je kunt a (of b) vrij kiezen en daar dan b (of a) bij uitrekenen.

Niet bijzonders, zal ook nooit iets aan veranderen.

Waar ik zelf op het moment mee zit:
a/(x^2+1) + b*exp(-x^2) = c
a,b,c zijn gegeven, bereken x.
Ik betwijfel eerlijk gezegd of er een analytische oplossing is, want Maple kan er ook al niets mee. Succes! :)

mvgr,
Geert

op 25 05 2009 at 11:21 schreef Henk:

Leuk al mis ik wel het prachtige woord hypotenusa in dit verhaal.

op 25 05 2009 at 12:07 schreef drnomad:

"a=z/b" is wederom een vergelijking met twee onbekenden, namelijk a en b. De vraag is, maak a en b bekend. Het addertje onder het gras is, dat wie hier een berekening voor vindt (dus niet uitproberen), wint een nobelprijs, wordt benoemd tot grootst mathematicus van de 21e eeuw en wordt misschien wel omgelegd door de internet industrie. Ik was eigenlijk wel benieuwd of wiskundeland al een beetje is gevorderd met dit sommetje.

op 25 05 2009 at 17:21 schreef Benech:

Geert: kan je sowieso vergeten. Een kwadratisch exponentiele funtie en een polynoom met graad 2 en hoger kan je zelden tot nooit analytisch oplossen.

op 25 05 2009 at 18:50 schreef Geert:

Benech:
Als ik het vereenvoudig tot
a/x + b*exp(x) = c
kom ik er ook niet uit. Behalve voor c = 0.

Taylorreeksje dan maar…

op 25 05 2009 at 23:30 schreef Benech:

Kan kloppen Geert, bovenstaande is zo snel uit mijn hoofd transcedent en dus kan je zoeken tot je een ons weegt. Maar waarom een Taylorbenadering? Ik zou eens Newton-Raphson serieus overwegen. Werkt sneller en accurater.

op 26 05 2009 at 07:40 schreef Geert:

Thanks, Benech!
De methode stond me nog vaag bij, maar was de naam vergeten.

op 01 06 2009 at 14:55 schreef Guus B:

Eindelijk eens een fatsoenlijke uitleg, door Yezkilim. Op de HBS-A was wiskunde niet mijn favoriet maar wel verplicht tot de 4e klas.
Pythagoras hoorde bij het volgende rijmpje dat er ingestampt was (we hadden nog geen telmachinetjes):
"Als een hoek van dertig graad, op een rechthoekszijde staat, is die rechte zij de helft der schuine zijde, en de andere zijde die, is die helft maal wortel drie, maar let goed op wie de de grootste is van beide.

Nieuwe reactie
Naam:
E-mail:
Homepage:
  Afbeelding invoegen
 

 


Home

Archief

 

Let op: Toelating van reacties en publicatie van opiniestukken van anderen dan de hoofdredacteur zelf betekent geenszins dat hij het met de inhoud ervan eens is.

 

pbgif (88k image)
 

 Vermaakt u zich een beetje met deze site? Laat uw waardering blijken met een kleine donatie (grote mag ook!): NL59 RABO 0393 4449 61 (SWIFT BIC RABONL2U) o.v.v. ‘Frontaal Naakt’.

 

pbgif (88k image)
 

(Advertentie)
 

Nu in de boekhandel! ‘Krimp is een huiveringwekkende zoektocht naar de oorsprong van vrouwelijk geweld.’

 

 

(Advertentie)
 

 

pbgif (88k image)
 

 Meest gelezen in oktober

O Anne Faber en de moslims
O Iedereen vindt Brimstone kut, en de Nederlandse filmkritiek is dood
O Alleen nog maar doen wat De Telegraaf wil
O Graag nul vrouwen in dit kabinet
O De vrijheid om Zwarte Piet te omhelzen
O Palestijnenlover
O Sprookjesland
O Nee heb je, ja kun je krijgen
O De ondergang van een avondje Oswald Spengler
O Waarom is seksueel geweld zo normaal?

Meest gelezen ever

O YouPorn
O Verplicht naakt douchen op school, jongens en meisjes bij elkaar
O ‘FUCK OFF ben je niet goed bij je kankerkop stinkhoer’
O Smerige kutnicht
O Fact-check: ging Adil Rashid vrijuit omdat hij moslim is? Neen.
O Konijntje Castricum
O Journalistieke principes
O Frontaal Naakt leeft!
O Holland for foreigners: Can’t you take a racist joke?
O Komt een Arabier bij Zomergasten

 

pbgif (88k image)
 

CONTACT
Stuur uw loftuitingen en steunbetuigingen naar Frontaal Naakt.

 

NIEUWSBRIEF
Ontvang gratis de Frontaal Naakt nieuwsbrief.

 

pbgif (88k image)
 

BLURBS

“How does it feel to be famous, Peter?”
(David Bowie)

“Ik vind dat je beter schrijft dan Hitler”
(Ionica Smeets)

“Wie verlost me van die vieze vuile tiefuslul?”
(Lodewijk Asscher cs)

“Pijnlijk treffend”
(Sylvana Simons)

“Echt intelligente mensen zoals Peter Breedveld.”
(Candy Dulfer)

“De Kanye West van de Nederlandse journalistiek.”
(Aicha Qandisha)

“Vieze gore domme shit”
(Tofik Dibi)

“Ik denk dat de geschiedenis zal uitmaken dat Peter Breedveld de Multatuli van deze tijd is.”
(Esther Gasseling)

“Nu weet ik het zeker. Jij bent de antichrist.”
(Sylvia Witteman)

“Ik ben dol op Peter. Peter moet blijven.”
(Sheila Sitalsing)

“Ik vind hem vaak te heftig”
(Hans Laroes)

“Schrijver bij wie iedereen verbleekt, weergaloos, dodelijk eerlijk. Om in je broek te piesen, zo grappig. Perfecte billen.”
(Hassnae Bouazza)

“Ik moet enorm lachen om alles wat Peter Breedveld roept.”
(Naeeda Aurangzeb)

“We kunnen niet zonder jouw geluid in dit land”
(Petra Stienen)

“Jij levert toch wel het bewijs dat prachtige columns ook op weblogs (en niet alleen in de oude media) verschijnen.”
(Femke Halsema)

“De scherpste online columnist van Nederland”
(Francisco van Jole)

“Elk woord van jou is gemeen, dat hoort bij de provocateur en de polemist, nietsontziendheid is een vak” (Nausicaa Marbe)

“Als Peter Breedveld zich kwaad maakt, dan wordt het internet weer een stukje mooier. Wat kan die gast schrijven.”
(Hollandse Hufters)

“De kritische en vlijmscherpe blogger Peter Breedveld”
(Joop.nl)

“Frontaal Naakt, waar het verzet tegen moslimhaat bijna altijd in libertijnse vorm wordt gegoten.”
(Hans Beerekamp – NRC Handelsblad)

“De grootste lul van Nederland”
(GeenStijl)

“Verder vermaak ik mij prima bij Peter Breedveld. Een groot schrijver.”
(Bert Brussen)

“Landverrader”
(Ehsan Jami)

“Voorganger van de Linkse Kerk in Hersteld Verband.”
(Carel Brendel)

“You are an icon!”
(Dunya Henya)

“De mooie stukken van Peter Breedveld, die op Frontaal Naakt tegen de maatschappelijke stroom in zwemt.”
(Sargasso)

‘De website Frontaal Naakt is een toonbeeld van smaak en intellect.’
(Elsevier weekblad)

“Frontaal Gestoord ben je!” (Frits ‘bonnetje’ Huffnagel)

“Jouw blogs maken hongerig Peter. Leeshonger, eethonger, sekshonger, geweldhonger, ik heb het allemaal gekregen na het lezen van Frontaal Naakt.” (Joyce Brekelmans)

‘Fucking goed geschreven en met de vinger op de zere plek van het multicultidebat.’
(jury Dutch Bloggies 2009)

Frontaal Naakt is een buitengewoon intelligent en kunstig geschreven, even confronterend als origineel weblog waar ook de reacties en discussies er vaak toe doen.’
(jury Dutch Bloggies 2008)

‘Intellectuele stukken die mooi zijn geschreven; confronterend, fel en scherp.’
(Revu)

‘Extreem-rechtse website’
(NRC Handelsblad)

‘Peter schrijft hartstochtelijk, natuurlijk beargumenteerd, maar zijn stijl volgt het ritme van zijn hart.’
(Hafid Bouazza)

‘Complimenten voor Frontaal Naakt. Scherpe confrontatie, zelfs als die soms over grenzen van smaak heen gaat, is een essentieel onderdeel van een gezonde democratie.’
(Lousewies van der Laan)

‘De meeste Nederlanders zijn van buitengewoon beschaafde huize, uitzonderingen als Peter Breedveld daargelaten.’
(Anil Ramdas)

‘Peter Breedveld verrast!’
(Nederlandse Moslim Omroep)

‘Breedveld is voor de duvel nog niet bang’
(Jeroen Mirck)

‘Nog een geluk dat er iemand bestaat als Peter Breedveld.’
(Max J. Molovich)

‘Godskolere, ik heb me toch over je gedróómd! Schandalig gewoon.’
(Laurence Blik)

 

pbgif (88k image)
 

 


 

pbgif (88k image)
 

LINKS


RSS RSS