Pythagoras
Yezkilim
Illustratie: Wilhelm von Gloeden
Meestal moet je weten wat aanliggende rechthoekszijden, schuine zijden, wortels, rechte hoeken, kwadraten, overstaande rechthoekszijden en rechthoekige driehoeken zijn voor je de uitleg van de stelling van Pythagoras kunt volgen. Maar het kan ook zonder. Hier een herkansing voor wie de stelling vergeten is.
Stel je voor, een rechthoek.
De linker- en rechterkant noemen we de hoogte van de rechthoek, de onder- en bovenkant noemen we de breedte. Van de hoek linksonder naar de hoek rechtsboven (mag ook van rechtsonder naar linksboven, dat maakt voor de stelling niet uit) is een kaarsrechte schuine lijn getrokken. Deze heet de diagonaal.
Je kent waarschijnlijk al twee formules die bij zo’n rechthoek horen:
(1) Omtrek = hoogte + breedte + hoogte + breedte
(2) Oppervlakte = hoogte x breedte
Pythagoras heeft er nog één bedacht (zijn stelling):
(3) (Diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte).
Trek je er niets van aan dat in veel opgaven alleen de halve rechthoek (onder of boven de diagonaal) getekend is. Schets of denk de andere helft erbij. Soms is de driehoek of rechthoek een stukje gedraaid. Draai de tekening dan gewoon zó, dat de rechthoek weer rechtop staat.
Wat kun je doen met de stelling van deze oude Griek?
Uitrekenen hoe lang de diagonaal is, als je de breedte en de hoogte weet. Of de breedte uitrekenen als je de diagonaal en de hoogte weet, of de hoogte als je de diagonaal en de breedte weet.
Meestal heb je hierbij een rekenmachine nodig.
Daar zit een pythagorasknopje op: √.
Dat gebruik je zo: weet je (hoogte x hoogte) of (breedte x breedte) of (diagonaal x diagonaal), bijvoorbeeld 100, dan tik je √ 100 =
en de uitkomst, ofwel de hoogte, de breedte of de diagonaal verschijnt op je scherm.
Voorbeelden
Uit (1) en (2) komt een mooi getal, maar bij (3) en (4) moet je afronden.
De schetsjes zijn maar schetsjes, dus niet op maat en niet in verhouding.
(1) De hoogte van een rechthoek is 3 cm en de breedte is 4 cm. Wat is de diagonaal?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(diagonaal x diagonaal) = (3 x 3) + (4 x 4).
(3 x 3)= 9 en (4 x 4)=16. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 9 + 16.
9 + 16 = 25. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 25.
Tik op je rekenmachine √ 25 = en je krijgt 5, dus de diagonaal is 5 centimeter.
(2) De hoogte van een rechthoek is 5 cm en de diagonaal is 13 cm. Wat is de breedte?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(13 x 13) = (5 x 5) + (breedte x breedte).
(5 x 5)=25 en (13 x 13)=69. Invullen:
169 = 25 + (breedte x breedte).
169 25 = 144. Invullen:
(breedte x breedte) = 144.
Tik op je rekenmachine √ 144 = en je krijgt 12, dus de breedte is 12 centimeter.
(3) De hoogte van de rechthoek is 3 cm en de breedte is 5 cm. Wat is de diagonaal?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(diagonaal x diagonaal) = (3 x 3) + (5 x 5).
(3 x 3)=9 en (5 x 5)=25. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 9 + 25.
9 + 25= 34. Invullen:
(diagonaal x diagonaal) = 34.
Tik op je rekenmachine √ 34 = en je krijgt 5,83095…., dus de diagonaal is ± 5,83 centimeter.
(4) De breedte van de rechthoek is 5 cm en de diagonaal is 10 cm. Wat is de hoogte?
Invullen in de formule (diagonaal x diagonaal) = (hoogte x hoogte) + (breedte x breedte) geeft:
(10 x 10) = (hoogte x hoogte) + (5 x 5).
(10 x 10)=100 en (5 x 5)=25. Invullen:
100 = (hoogte x hoogte) + 25.
100 25 = 75. Invullen:
(hoogte x hoogte) = 75.
Tik op je rekenmachine √ 75 = en je krijgt 8,66025…., dus de hoogte is ± 8,66 centimeter.
Yezkilim is een full-time allround compulsief obsessief probleemoplosser, met als specialiteit radicale onderwijshervormingen. Daarnaast is ze wiskundeleraar.
RSS