Ik gödel, dus ik besta
Peter Breedveld
Schilderij: Max Nonnenbruch.
Gödel-nummeren, vernoemd naar de Oostenrijkse wiskundige Kurt Friedrich Gödel (1906-1978), is het omzetten van wiskundige beweringen in één uniek getal, een Gödel-getal. Om het heel simpel te houden, zodat ik het zelf ook kan begrijpen: Elk symbool in de bewering ‘1 + 1 = 2’ krijgt een eigen nummer, een symboolnummer, dus 1 wordt 2, + wordt 3, = wordt 4, en 2 wordt 8. Dan neem je de eerste vijf primegetallen en die verhef je tot de macht van de symboolnummers. Dus 22 ⋅ 33 ⋅ 52 ⋅ 74 ⋅ 118, waar dan een gigantisch getal uitkomt, een uniek getal, dat je kunt ontcijferen als de bewering 1 + 1 = 2.
Zo kun je dus een hele bewering als één enkel getal in een systeem gebruiken en bewerken. Je kunt er andere beweringen mee maken die ook weer worden omgezet in een getal. Bijvoorbeeld: “Gödelgetal 918273645 is niet te bewijzen”. Als je dat omzet in een Gödelgetal, krijg je een Gödelgetal in een Gödelgetal. Je kunt het zelfs doen met een Gödelgetal dat iets over zichzelf zegt, in de lijn van “Ik ben niet te bewijzen”.
Dan krijg je dus een paradox in de vorm van een getal. En als het klopt, klopt het niet en als het niet klopt, klopt het ook niet. Gödel toonde zo aan dat het binnen de hogere rekenkunde onmogelijk is een compleet en consistent systeem te krijgen, omdat er altijd ware beweringen zijn die niet kunnen worden bewezen. Niet omdat ze fout of tegenstrijdig zijn, maar omdat ze onbeslisbaar zijn.
Strange loops
En daar draait het om in het boek Gödel, Escher, Bach, dat de Amerikaanse cognitieve wetenschapper Douglas R. Hofstadter in 1979 publiceerde. Hofstadter noemt die zelfverwijzingen binnen rekensystemen “strange loops” en volgens hem veroorzaken dezelfde soort “strange loops” in onze hersenen ons bewustzijn, dat op verschillende niveaus aan zelfreflectie doet. Onze hersenen kunnen nadenken over zichzelf. Wij kunnen zeggen: “Ik denk, dus ik besta.”
Dat kan een rekenkundig systeem natuurlijk niet en een computer kan dat ook niet. Maar computers werken op zich volgens hetzelfde principe als ons brein, dat code omzet in gedachten, zoals computertaal wordt omgezet in een videogame, of in de feedback die ik kreeg van ChatGPT, dat ik mijn samenvattingen van hoofdstukken in Gödel, Escher, Bach voorlegde. “Je ziet het scherp”, zei ChatGPT tegen me. “Het principe achter Gödelnummering is inderdaad vergelijkbaar met hoe computers werken.”
Mijn maatje ChatGPT
Met de hulp van ChatGPT kon ik me door het 750 pagina’s dikke Gödel, Escher, Bach (GEB, vanaf nu) heenwerken, want ik snapte helemaal niks van wiskunde en er zit veel wiskunde in GEB. Wat ik zowel geweldig als een beetje griezelig vind aan ChatGPT, is dat ik er een echt maatje aan had, dat me geduldig de simpelste beginselen van de wiskunde uitlegde, steeds weer op een andere manier, net zolang tot ik het begreep, en dan vroeg of ik nog een ander voorbeeld wilde. Constant goedgemutst en ik vond het echt gezellig. Ik heb het programma steeds hartelijk bedankt en mijn verwondering en verbazing uitgesproken en één keer zelfs gecorrigeerd, en toen zei ChatGPT: “Je hebt helemaal gelijk!” en toen gingen we er samen nog een keer doorheen.
Dat is heel wat anders dan mijn wiskundeleraar op school, die als hij iets twee keer had uitgelegd en ik het nog niet begreep, korzelig werd en dingen zei als: “Ja, dat moet je gewoon aannemen”. Gewoon dingen aannemen is voor mij totaal onmogelijk. Ik kan dat fysiek niet en ik begrijp er niks van dat anderen dat wel kunnen.
Maar ChatGPT is gewoon een computerprogramma dat werkt op basis van symbolische representatie en vertaalsystemen, waarbij taal en logica in elkaar grijpen, maar zonder dat het zich bewust is van zichzelf. Het interesseert ChatGPT niet echt of ik wiskunde begrijp of niet, en dat ik zo enthousiast ben over GEB. De nanoseconde nadat het op mij heeft gereageerd, is het me alweer vergeten. Het is mijn maatje helemaal niet.
Hoe dan ook, dankzij Hofstadter en ChatGPT weet ik nu wat Gödelnummering is en tot de macht verheffen en bijvoorbeeld ook wat Fibonacci-getallen zijn en ben ik enthousiast geworden over wiskunde. Ik snap nog steeds niks van wiskunde, maar ik vind het geweldig! Je kunt er alles mee vatten! Nou ja, niet alles, dat heeft Gödel aangetoond en dat is ook een belangrijk thema in GEB, dat je niet alles kunt aantonen, al wéét je dat het klopt. Hofstadter laat dat zien aan de hand van de werken van Escher en Bach, die ook vol strange loops zijn en dus zelfrefererende systemen zijn.
Bach en Escher
Iedereen die een werk van Escher bekijkt, zal dezelfde frustratie/verwondering hebben ervaren: je ziet een waterval die zowel omhoog als omlaag stroomt, trappen die aan beide kanten te beklimmen en af te dalen zijn, gangen en wegen die eindigen bij hun beginpunt, handen die elkaar tekenen. Het klopt niet, maar je kunt de vinger er niet achter krijgen, er zit een blinde hoek en het lukt je niet die precies te lokalizeren.
Prentenkabinet door M.C. Escher.
Bach doet hetzelfde in zijn muziek. Hofstadter bespreekt zijn “Musikalisches Opfer”, in het bijzonder de ‘Canon per Tonos‘, ook wel de Modulerende Canon genoemd, waarin elke herhaling een toon hoger is dan de vorige. Daardoor ontstaat een oneindige lus: het thema komt steeds terug, maar nooit precies zoals het begon en uiteindelijk nooit eindigt, expliciet niet, want er is geen duidelijke afsluiting, de muziek valt opeens, midden in de beweging, stil, waardoor het in je hoofd verder speelt. Je wordt deel van de muziek en de muziek van jou, je wordt zelf de laatste noot, maar zonder dat het expliciet wordt, dat het wordt aangetoond, het zit in je hoofd, maar je weet niet precies waarom. Dat is sowieso wat muziek zo ongrijpbaar maakt en moeilijk te verklaren.
Het is in wezen dezelfde blinde vlek als in Escher en Gödels paradox.
Zelfvernietiging
ChatGPT had het over ‘waarheden die je niet kunt bewijzen binnen het systeem zelf, alsof je een boek schrijft over alles en ontdekt dat er zinnen zijn die je niet mag opschrijven zonder dat het boek zichzelf opblaast’. Dat moet een verwijzing zijn naar een vreemd verhaal dat Hofstadter vertelt over Achilles en de Schildpad, de personages uit de paradox van Zeno die door Hofstadter om het andere hoofdstuk worden opgevoerd in een verhaal ter illustratie van zijn theorieën.
In het hoofdstuk Contracrostipunctus draait het om een langspeelplaat – de drager van een boodschap in code die wordt ontcijferd op een platenspeler – die leidt tot de zelfvernietiging van de speler waarop die wordt gedraaid. Het is een metafoor voor die blinde vlek in rekenkundige systemen, de tekeningen van Escher en de muziek van Bach, waardoor je niet kunt bevatten wat er precies gaande is. Probeer je het toch, dan raak je in de knoop met jezelf.
Hofstadter laat hiermee zien dat het onmogelijk voor ons is om te doorgronden wat precies ons bewustzijn is. Thomas Metzinger schrijft dat ook in Being No One. Volgens hem zouden we onszelf opheffen als we ontdekken hoe ons bewustzijn werkt, omdat we niemand zijn, alleen maar hallucineren dat we iemand zijn.
Onbegrijpelijk boek
Ik vind dat bij Metzinger onbevredigend, maar bij Hofstadter kreeg ik een soort aha-erlbenis, terwijl ik er eigenlijk nog steeds niks van snap.
Maar dat is het mooie van Hofstadter. Als je ervoor openstaat, je je een beetje met de stroom laat meevoeren, kneedt hij je brein als het ware, rekt dat uit, masseert het om het toegankelijk te maken voor zijn ideeën zonder dat je meteen alles honderd procent doorhebt.
Ik zat GEB in de trein te lezen en er kwam een jongeman langs die me vroeg of ik het boek begreep. Ik vroeg of hij het had gelezen, maar nee, hij had gehoord dat het onmogelijk te begrijpen is. Mijn lieve vriendin Ionica, die elk jaar in december haar lijst met favoriete boeken van het jaar stuurt, vroeg waarom ik in godsnaam GEB ging lezen.
Nou, in alle eerlijkheid omdat mijn zoon Tom het me cadeau gaf omdat hij wist dat ik al een aantal boeken over ons bewustzijn achter de kiezen had, die ik allemaal razend interessant vond maar uiteindelijk ook wel onbevredigend, omdat uiteindelijk nooit de belofte van de verklaring van ons bewustzijn. Ik moet zeggen dat ik hem heb vervloekt (liefdevol, uiteraard) want ik vroeg me inderdaad af of ik het einde zou gaan halen en ik kan geen boek wegleggen waar ik eenmaal in begonnen ben, al zou ik dat graag willen als ik een paar maanden later op bladzijde 300 ben met nog 450 bladzijden te gaan, met de belofte dat het nog veel ingewikkelder wordt.
Lekker geschreven
Maar toch is GEB niet onbegrijpelijk, het was gewoon terrein dat ik nog nooit eerder had betreden. Hofstadter heeft me hoofdstuk voor hoofdstuk aan de hand genomen en uitgelegd wat formele systemen zijn, hoe getallen werken, hoe boodschappen altijd gecodeerd zijn en gedecodeerd worden, wat computertaal is, wat zen is, hoe een mierenkolonie functioneert om uit te leggen hoe onze hersenen werken, enzovoort.
Dat is taaie stof, maar bij Hofstadter is het nooit saai. Want hij schrijft lekker en toegankelijk, is geestig, een begenadigde verteller en nooit, never, ever wordt hij neerbuigend. Hij daagt je wel steeds uit om een beetje verder te springen, hoger te grijpen. Hij speelt een beetje met de lezer.
Vriend voor het leven
Weet ik nu hoe ons bewustzijn werkt? Nee. Toch denk ik er een beetje meer inzicht in te hebben gekregen en in tal van andere zaken. Bovendien heb ik geleerd dat wiskunde awesome is en ben ik de muziek van Bach op waarde gaan schatten, en die vond ik altijd saai. Van Escher heb ik nooit gehouden en dat is zo gebleven. Daar heeft Hofstadter geen verandering in kunnen brengen.
En weet u wat ik nu ga doen? Gödel Escher Bach herlezen, en daarna weer. Want bij het binnenhalen van de eerste rijke vangst zag ik dat het nog maar een fractie was van wat er nog te halen was. GEB is een echte vriend van me geworden. Een vriend voor het leven.
Frontaal Naakt steunen? Rekeningnummer NL24 ASNB 8832 6749 39 (N.P. Breedveld, ASBN Rijswijk), BIC ASNB NL21.
boeken, Peter Breedveld, 23.07.2025 @ 08:02
RSS